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曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(-1,0)、F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點(diǎn)的軌跡.給出下列四個(gè)結(jié)論:
①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn);
②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱;
③若點(diǎn)P在曲線C上,則△F1PF2的面積不大于
1
2
a2

④若點(diǎn)P在曲線C上,則P到原點(diǎn)的距離不小于
a2-1

其中正確命題序號(hào)是
 
考點(diǎn):軌跡方程
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:由題意曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(-1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1),利用直接法,設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),及可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,然后由方程特點(diǎn)即可加以判斷.
解答: 解:對(duì)于①,由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則利用題意及兩點(diǎn)間的距離公式的得:[(x+1)2+y2]•[(x-1)2+y2]=a4,將原點(diǎn)代入驗(yàn)證,此方程不過原點(diǎn),所以①錯(cuò);
對(duì)于②,把方程中的x被-x代換,y被-y 代換,方程不變,故此曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故②正確;
對(duì)于③,由題意知點(diǎn)P在曲線C上,則△F1PF2的面積S△F1PF2=
1
2
×2×y=y,由①知y2=-x2-1+
4x2+a4
或y2=-x2-1-
4x2+a4
(舍去),令
4x2+a4
=t,則x2=
t2-a4
4
,∴y2=-
t2-a4
4
-1+t=-
1
4
(t-2)2+
a4
4
a4
4
,∴S△F1PF22=y2
1
2
a2,故③正確;
對(duì)于④,y2=-x2-1+
4x2+a4
,∴y2+x2=-1+
4x2+a4
≥a2-1,∴P到原點(diǎn)的距離不小于
a2-1
,故④正確.
故答案為:②③④.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用直接法求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,并化簡(jiǎn),利用方程判斷曲線的對(duì)稱性及利用解析式選擇換元法求出值域.
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2
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2
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1
0
cosxdx=
 

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下列命題是真命題的是( �。�
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