Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，CA⊥x軸于點(diǎn)A（1，0），DB⊥x軸于點(diǎn)B（3，0），直線CD與x軸、y軸分別交于點(diǎn)F、E，S_{四邊形ABCD}=4．
（1）若直線CD的解析式為y=kx+3，求k的值；
（2）在（1）條件下，試探索在x軸正半軸上存在幾個(gè)點(diǎn)P，使△EPF為等腰三角形，并求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）由已知可得|AB|=2，由于S_{四邊形ABCD}=

1

2

（|AC|+|BD|）×2=4，可得|AC|+|BD|=4．設(shè)C（1，y₁），D（3，y₂），代入y=kx+3，即可得出k．
（2）由兩種情況：一種是線段EF的垂直平分線與x軸的正半軸的交點(diǎn)，另一種是|FP|=|FE|，點(diǎn)P在F點(diǎn)的右邊．

解答： 解：（1）∵A（1，0）B（3，0），
∴|AB|=2，
∵S_{四邊形ABCD}=

1

2

（|AC|+|BD|）×2=4，
∴|AC|+|BD|=4．
  設(shè)C（1，y₁），D（3，y₂），
∵y=kx+3，
∴y₁=k+3，y₂=3k+3，
∴y₁+y₂=4k+6=4，
解得k=-

1

2

．
（2）有2個(gè)．
①當(dāng)點(diǎn)P在線段OF上時(shí)，在y=-

1

2

x+3中，令y=0得x=6
∴F（6，0），E（0，3）．
線段EF的中點(diǎn)(3，

3

2

)．
∴線段EF的垂直平分線的方程為：y-

3

2

=2(x-3)，
令y=0，解得x=

9

4

，
∴點(diǎn)P（

9

4

，0）．
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F右邊時(shí)，
∵|FP|=|EF|=

32+62

=3

5

∴|OP|=|OF|+|FP|=6+3

5

，此時(shí)P（6+3

5

，0）．
綜上可得：P（

9

4

，0）或P（6+3

5

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的方程及其應(yīng)用、梯形的面積計(jì)算公式、線段的垂直平分線、等腰三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．