Question

已知無窮數(shù)列的前項和為，且滿足，其中、、是常數(shù).
（1）若，，，求數(shù)列的通項公式；
（2）若，，，且，求數(shù)列的前項和；
（3）試探究、、滿足什么條件時，數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列.

Answer 1

（1）；（2）；（3），或或，．

試題分析：（1）已知與的關(guān)系，要求，一般是利用它們之間的關(guān)系，把，化為，得出數(shù)列的遞推關(guān)系，從而求得通項公式；（2）與（1）類似，先求出，時，推導(dǎo)出與之間的關(guān)系，求出通項公式，再求出前項和；（3）這是一類探究性命題，可假設(shè)結(jié)論成立，然后由這個假設(shè)的結(jié)論來推導(dǎo)出條件，本題設(shè)數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，則，，代入恒成立的等式，得
對于一切正整數(shù)都成立，所以，，，得出這個結(jié)論之后，還要反過來，由這個條件證明數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，才能說明這個結(jié)論是正確的．在討論過程中，還要討論的情況，因為時，，，當(dāng)然這種情況下，不是等比數(shù)列，另外．
試題解析：（1）由，得；               1分
當(dāng)時，，即        2分
所以；                     1分
（2）由，得，進(jìn)而，    1分
當(dāng)時，
得，
因為，所以，           2分
進(jìn)而                   2分
（3）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
①當(dāng)時，，
由，得恒成立.
所以，與數(shù)列是等比數(shù)列矛盾；              1分
②當(dāng)，時，，，        1分
由恒成立，
得對于一切正整數(shù)都成立
所以，或或，            3分
事實上，當(dāng)，或或，時，
，時，，得或
所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列          2分與的關(guān)系：，等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義．