Question

是否存在實數(shù)a，c，使函數(shù)f（x）=

ax+1

x2+c

的值域為[1，5]，若存在，求出a，c的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)y=f（x），y=

ax+1

x2+c

，將該式變成：yx²-ax+cy-1=0，所以把該式可看成關(guān)于x的一元二次方程，方程有解．所以會得到△=a²-4y（cy-1）≥0，可將該不等式看成關(guān)于y的一元二次不等式，并且不等式的解是[1，5]，所以1，5便是方程a²-4y（cy-1）=0的兩實根，這樣帶入或根據(jù)韋達定理求a，c即可．

解答： 解：令y=f（x），y=

ax+1

x2+c

；
∴y（x²+c）=ax+1，將該式整理成：yx²-ax+cy-1=0，可以將該式看成關(guān)于x的一元二次方程，方程有解；
∴△=a²-4y（cy-1）≥0，將該不等式變成：-4cy²+4y+a²≥0，可以將該不等式看成關(guān)于y的不等式，并且解集為[1，5]；
∴1，5是方程-4cy²+4y+a²=0的兩實根；
∴

1+5= 1 c 1•5=- a2 4c

，解得c=

1

6

，a²=-

10

3

；
∴不存在a，c使f（x）的值域為[1，5]．

點評：考查函數(shù)的值域，一元二次不等式的解和判別式△的關(guān)系，以及韋達定理．