Question

9．已知x，y為正實數，則$\frac{2x}{x+2y}$+$\frac{y}{x}$的最小值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 x、y為正實數，則$\frac{2x}{x+2y}$+$\frac{y}{x}$=$\frac{2}{1+2•\frac{y}{x}}$+$\frac{y}{x}$，令$\frac{y}{x}$=t＞0，可得$\frac{2x}{x+2y}$+$\frac{y}{x}$=$\frac{2}{1+2t}$+t=$\frac{1}{\frac{1}{2}+t}$+$（t+\frac{1}{2}）$-$\frac{1}{2}$，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵x、y為正實數，則$\frac{2x}{x+2y}$+$\frac{y}{x}$=$\frac{2}{1+2•\frac{y}{x}}$+$\frac{y}{x}$，
令$\frac{y}{x}$=t＞0，∴$\frac{2x}{x+2y}$+$\frac{y}{x}$=$\frac{2}{1+2t}$+t=$\frac{1}{\frac{1}{2}+t}$+$（t+\frac{1}{2}）$-$\frac{1}{2}$≥$2\sqrt{（t+\frac{1}{2}）•\frac{1}{t+\frac{1}{2}}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
當且僅當t=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴$\frac{2x}{x+2y}$+$\frac{y}{x}$的最小值為$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．