Question

1．如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，M是AB上一點(diǎn)，N是A′C的中點(diǎn)，MN⊥平面A′DC，求證：MN∥AD′．

Answer 1

分析 連接AC，BD，設(shè)交點(diǎn)為O，連接ON，OM，由MN⊥CD，NO⊥CD，可證CD⊥平面MNO，可證AB⊥OM，OM∥AD，又N在BD′上且為中點(diǎn)，從而可證MN∥AD′．

解答 證明：連接AC，BD，設(shè)交點(diǎn)為O，連接ON，OM，
∵M(jìn)N⊥平面A′DC，CD?平面A′DC
∴MN⊥CD，
∵在正方體ABCD-A′B′C′D′中，N是A₁C的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，
∴NO⊥CD，
∵M(jìn)N∩NO=N，
∴CD⊥平面MNO，
∴CD⊥OM，CD∥AB
∴AB⊥OM，
∴OM∥AD，
又∵在正方體ABCD-A′B′C′D′中，N是A′C的中點(diǎn)，
∴N在BD′上，且為中點(diǎn)，
∴△AD′B中，MN∥AD′．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了空間想象能力和推理論證能力，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．