Question

已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點．沿BD將△BCD翻折到△，使得平面⊥平面ABD．

（Ⅰ）求證：平面ABD；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）先證 （Ⅱ） （Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，

沿直線BD將△BCD翻折成△

可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，

即，

故．          

∵平面⊥平面，平面平面=，平面，

∴平面．        

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且，

如圖，以D為原點，建立空間直角坐標系．            

則，，，．

∵E是線段AD的中點，

∴，．

在平面中，，，

設平面法向量為，

∴，即，

令，得，故．            

設直線與平面所成角為，則

．           

∴直線與平面所成角的正弦值為．              

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量為，

而平面的法向量為，

∴，

因為二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為．

考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定．

點評：本題重點考查線面垂直、線面角與二面角的平面角，以及翻折問題，學生必須要掌握在翻折的過程中，哪些是不變的，哪些是改變，這也是解決此類問題的關鍵．