Question

10．若不等式$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}＞\frac{lnx}{x-1}+\frac{k}{x}$在x＞0且x≠1時恒成立，則k的取值范圍是（-∞，0]．

Answer 1

分析 把不等式移向變形，可得$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$-（$\frac{lnx}{x-1}$+$\frac{k}{x}$）=$\frac{1}{1-{x}^{2}}$（2lnx+$\frac{（k-1）（{x}^{2}-1）}{x}$），令h（x）=2lnx+$\frac{（k-1）（{x}^{2}-1）}{x}$），x＞0，則h′（x）=$\frac{（k-1）（{x}^{2}+1）+2x}{{x}^{2}}$，對k分類討論可得h（x）的符號，結合$\frac{1}{1-{x}^{2}}$的符號求得k的取值范圍．

解答 解：不等式$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}＞\frac{lnx}{x-1}+\frac{k}{x}$在x＞0且x≠1時恒成立，
則$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$-（$\frac{lnx}{x-1}$+$\frac{k}{x}$）=$\frac{1}{1-{x}^{2}}$（2lnx+$\frac{（k-1）（{x}^{2}-1）}{x}$），
設h（x）=2lnx+$\frac{（k-1）（{x}^{2}-1）}{x}$），x＞0，
則h′（x）=$\frac{（k-1）（{x}^{2}+1）+2x}{{x}^{2}}$，
（1）設k≤0，由h′（x）=$\frac{k（{x}^{2}+1）-（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$知，
當x≠1時，h′（x）＜0，
而h（1）=0，
∴當x∈（0，1）時，h（x）＞0，可得$\frac{1}{1-{x}^{2}}$h（x）＞0，
從而當x＞0且x≠1時，$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}＞\frac{lnx}{x-1}+\frac{k}{x}$；
（2）設0＜k＜1，由于當x∈（1，$\frac{1}{1-k}$）時，（k-1）（x²+1）+2x＞0，
∴h′（x）＞0，
而h（1）=0，
∴當x∈（1，$\frac{1}{1-k}$）時，h（x）＞0，可得$\frac{1}{1-{x}^{2}}$h（x）＜0，這與題設矛盾，
（3）設k≥1時，此時h′（x）＞0，而h（1）=0，
故當x∈（1，+∞）時，h（x）＞0，可得$\frac{1}{1-{x}^{2}}$h（x）＜0，這與題設矛盾，
綜上所述k的取值范圍為（-∞，0]．
故答案為：（-∞，0]．

點評 本題考查了恒成立問題，考查利用導數研究函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．