設函數(shù)f(x)=
a
b
,其中
a
=(2cosx,1),
b
=(cosx,
3
sin2x),x∈R
(1)求f(x)的表達式,并給出一個f(x)取得最大值時的x的值;
(2)求f(x)的單調遞增區(qū)間;
(3)若關于x的方程f(x)-m=0(x∈[-
π
4
,
π
3
]有解,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)由已知中
a
=(2cosx,1),
b
=(cosx,
3
sin2x),函數(shù)f(x)=
a
b
,根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式,結合降冪公式(二倍角公式逆用)及輔助角公式,我們易將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式,進而根據(jù)正弦型函數(shù)的性質,我們可以求出函數(shù) f(x)的最大值及取得最大值時的x的值;
(2)由(1)中函數(shù)的解析式,結合正弦型函數(shù)的單調性,我們易求出函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;
(3)由(1)中函數(shù)的解析式,結合正弦型函數(shù)的單調性,得到函數(shù)的最值,進而得到實數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(1)f(x)=
a
b
=(2cosx,1)(cosx,
3
sin2x)
=1+cos2x+
3
sin2x=2sin(2x+
π
6
)+1.        
∵-1≤sin(2x+
π
6
)≤1,
∴fmax=3,此時x+
π
6
=
π
2
+2kπ

故一個f(x)取得最大值時的x的值為x=
π
3
;
(2)由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
π
2
+2kπ
,(k∈Z)
-
π
3
+kπ≤x≤
π
6
+kπ

函數(shù)遞增區(qū)間為[-
π
3
+kπ,
π
6
+kπ]
,(k∈Z);
(3)∵x∈[-
π
4
,
π
3
]
,∴2x+
π
6
∈[-
π
3
,
6
]

故-
3
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1
此時2sin(2x+
π
6
)+1∈[1-
3
,3]
故m∈[1-
3
,3]時方程有解.
點評:本題考查的知識點是平面向量的數(shù)量積運算,正弦型函數(shù)的圖象和性質,函數(shù)圖象的平移變換法則,其中根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式和輔助角公式,求出函數(shù)的解析式是解答本題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=A+Bsinx,若B<0時,f(x)的最大值是
3
2
,最小值是-
1
2
,則A=
 
,B=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
a
b
其中向量
a
=(2cosx,1),b=(cosx,
3
sin2x+m)

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和在[0,π]上的單調遞增區(qū)間;
(2)當x∈[0,
π
6
]
時,f(x)的最大值為4,求m的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=a+bcosx+csinx的圖象過點(0,1)和點(
π
2
,1)
,當x∈[0,
π
2
]
時,|f(x)|<2,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A、-
2
<a≤1
B、1≤a<4+3
2
C、-
2
<a<4+3
2
D、-a<a<2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
a
b
,其中向量
a
=(2cosx,1),
b
=(cosx,-1)(x∈R).
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若f(A)=-
1
2
,且a=
3
,b+c=3,(b>c),求b與c的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(sinωx+cosωx,sinωx)
b
=(sinωx-cosωx,2
3
cosωx),設函數(shù)f(x)=
a
b
(x∈R)的圖象關于直線x=
π
3
對稱,其中常數(shù)ω∈(0,2)
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移
π
12
個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,用五點法作出函數(shù)g(x)在區(qū)間[-
π
2
,
π
2
]的圖象.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案