Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-a|x-1|，若f（x）≤a|x+3|，則a的最小值$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 將意義及條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可得a≥$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$，再結(jié)合|x-1|+|x+3|≥2|x+1|，即可求出a的取值范圍，注意等號(hào)成立的條件

解答 解：若f（x）≤a|x+3|，則|x+1|-a|x-1|≤a|x+3|，
即|x+1|≤a（|x-1|+|x+3|），
即a≥$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$，
由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|，
∴$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$≤$\frac{|x+1|}{2|x+1|}$=$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x≥1或x≤-3時(shí)取等號(hào)，
即a≥$\frac{1}{2}$，則a的取值范圍是a≥$\frac{1}{2}$
即a的最小值為$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，以及恒成立的問(wèn)題，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題