【題目】(本小題滿分12分)已知橢圓的離心率為,橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合,過點且不垂直于軸的直線與橢圓相交于兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)設(shè)橢圓的方程,若焦點明確,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合條件用待定系數(shù)法求出的值,若不明確,需分焦點在軸和軸上兩種情況討論;(2)解決直線和橢圓的綜合問題時注意:第一步:根據(jù)題意設(shè)直線方程,有的題設(shè)條件已知點,而斜率未知;有的題設(shè)條件已知斜率,點不定,可由點斜式設(shè)直線方程.第二步:聯(lián)立方程:把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立,消去一個元,得到一個一元二次方程.第三步:求解判別式:計算一元二次方程根.第四步:寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步:根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.
試題解析:解:(1)由題意知,
.又雙曲線的焦點坐標(biāo)為, ,
橢圓的方程為.
(2)若直線的傾斜角為,則,
當(dāng)直線的傾斜角不為時,直線可設(shè)為,
,由
設(shè), ,
, ,綜上所述:范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某縣畜牧技術(shù)員張三和李四9年來一直對該縣山羊養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模進(jìn)行跟蹤調(diào)查,張三提供了該縣某山羊養(yǎng)殖場年養(yǎng)殖數(shù)量y(單位:萬只)與相成年份x(序號)的數(shù)據(jù)表和散點圖(如圖所示),根據(jù)散點圖,發(fā)現(xiàn)y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,李四提供了該縣山羊養(yǎng)殖場的個數(shù)z(單位:個)關(guān)于x的回歸方程.
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和所給統(tǒng)計量,求y關(guān)于x的線性回歸方程(參考統(tǒng)計量:);
(2)試估計:①該縣第一年養(yǎng)殖山羊多少萬只?
②到第幾年,該縣山羊養(yǎng)殖的數(shù)量與第一年相比縮小了?
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形, 平面, , , , 分別是, 的中點.
(1)證明: ;
(2)設(shè)為線段上的動點,若線段長的最小值為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)證明線線垂直則需證明線面垂直,根據(jù)題意易得,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得,又,因此得平面,從而得證(2)先找到EH什么時候最短,顯然當(dāng)線段長的最小時, ,在中, , , ,∴,由中, , ,∴.然后建立空間直角坐標(biāo)系,寫出兩個面法向量再根據(jù)向量的夾角公式即可得余弦值
解析:(1)證明:∵四邊形為菱形, ,
∴為正三角形.又為的中點,∴.
又,因此.
∵平面, 平面,∴.
而平面, 平面且,
∴平面.又平面,∴.
(2)如圖, 為上任意一點,連接, .
當(dāng)線段長的最小時, ,由(1)知,
∴平面, 平面,故.
在中, , , ,
∴,
由中, , ,∴.
由(1)知, , 兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,又, 分別是, 的中點,
可得, , , ,
, , ,
所以, .
設(shè)平面的一法向量為,
則因此,
取,則,
因為, , ,所以平面,
故為平面的一法向量.又,
所以 .
易得二面角為銳角,故所求二面角的余弦值為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】【2018湖北七市(州)教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知橢圓: 的左頂點為,上頂點為,直線與直線垂直,垂足為點,且點是線段的中點.
(I)求橢圓的方程;
(II)如圖,若直線: 與橢圓交于, 兩點,點在橢圓上,且四邊形為平行四邊形,求證:四邊形的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中國決勝全面建成小康社會的關(guān)鍵之年,如何更好地保障和改善民生,如何切實增強(qiáng)政策“獲得感”,成為年全國兩會的重要關(guān)切.某地區(qū)為改善民生調(diào)研了甲、乙、丙、丁、戊個民生項目,得到如下信息:①若該地區(qū)引進(jìn)甲項目,就必須引進(jìn)與之配套的乙項目;②丁、戊兩個項目與民生密切相關(guān),這兩個項目至少要引進(jìn)一個;③乙、丙兩個項目之間有沖突,兩個項目只能引進(jìn)一個;④丙、丁兩個項目關(guān)聯(lián)度較高,要么同時引進(jìn),要么都不引進(jìn);⑤若引進(jìn)項目戊,甲、丁兩個項目也必須引進(jìn).則該地區(qū)應(yīng)引進(jìn)的項目為( )
A. 甲、乙B. 丙、丁C. 乙、丁D. 甲、丙
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】市場份額又稱市場占有率,它在很大程度上反映了企業(yè)的競爭地位和盈利能力,是企業(yè)非常重視的一個指標(biāo).近年來,服務(wù)機(jī)器人與工業(yè)機(jī)器人以迅猛的增速占領(lǐng)了中國機(jī)器人領(lǐng)域龐大的市場份額,隨著“一帶一路”的積極推動,包括機(jī)器人產(chǎn)業(yè)在內(nèi)的眾多行業(yè)得到了更廣闊的的發(fā)展空間,某市場研究人員為了了解某機(jī)器人制造企業(yè)的經(jīng)營狀況,對該機(jī)器人制造企業(yè)2017年1月至6月的市場份額進(jìn)行了調(diào)查,得到如下資料:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
市場份額 | 11 | 163 | 16 | 15 | 20 | 21 |
請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測該企業(yè)2017年7月份的市場份額.
如圖是該機(jī)器人制造企業(yè)記錄的2017年6月1日至6月30日之間的產(chǎn)品銷售頻數(shù)(單位:天)統(tǒng)計圖.設(shè)銷售產(chǎn)品數(shù)量為,經(jīng)統(tǒng)計,當(dāng)時,企業(yè)每天虧損約為200萬元;
當(dāng)時,企業(yè)平均每天收入約為400萬元;
當(dāng)時,企業(yè)平均每天收入約為700萬元.
①設(shè)該企業(yè)在六月份每天收入為,求的數(shù)學(xué)期望;
②如果將頻率視為概率,求該企業(yè)在未來連續(xù)三天總收入不低于1200萬元的概率.
附:回歸直線的方程是,其中
, ,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在固定壓力差(壓力差為常數(shù))下,當(dāng)氣體通過圓形管道時,其流量速率,(單位:)與管道半徑r(單位:cm)的四次方成正比.
(1)寫出氣體流量速率,關(guān)于管道半徑r的函數(shù)解析式;
(2)若氣體在半徑為3cm的管道中,流量速率為,求該氣體通過半徑為r的管道時,其流量速率v的表達(dá)式;
(3)已知(2)中的氣體通過的管道半徑為5cm,計算該氣體的流量速率(精確到).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,,且,為中點.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在線段上是否存在點,使得點到平
面的距離為?若存在,確定點的位置;
若不存在,請說明理由.
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