Question

設函數f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函數，且當x=-

3

3

時，f（x）取得極小值-

2 3

9

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求使得方程-

1

3

f′(x)-nx+4n+

1

3

=0僅有整數根的所有正實數n的值；
（3）設g（x）=|f（x）+（3t-1）x|，（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值F（t）．

Answer 1

分析：（1）由f（x）為奇函數，知b=d=0，由f′(-

3

3

)=0及f(-

3

3

)=-

2 3

9

，知a=-1，c=1，由此能求出f（x）．
（2）由方程-

1

3

f′(x)-nx+4n+

1

3

=0，知x²-nx+4n=0，由方程僅有整數解，知n為整數，由x²=n（x-4）及n＞0知，x-4＞0，由此能求出n．
（3）由g（x）=|x³-3tx|，x∈[-1，1]是偶函數，知只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．構造函數h（x）=x³-3tx，利用導數性質能求出g（x）的最大值F（t）．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數，∴b=d=0，…（2分）
又由f′(-

3

3

)=0及f(-

3

3

)=-

2 3

9

，得a=-1，c=1，
∴f（x）=-x³+x．…（4分）
當x＜-

3

3

時，f'（x）＜0，
當-

3

3

＜x＜

3

3

時f'（x）＞0，
∴f（x）在x=-

3

3

時取得極小值，
∴f（x）=-x³+x為所求．…（5分）
（2）方程-

1

3

f′(x)-nx+4n+

1

3

=0，
化簡得：x²-nx+4n=0，
因為方程僅有整數解，故n為整數，
又由x²=n（x-4）及n＞0知，x-4＞0．…（7分）
又n=

x2

x-4

=(x-4)+

16

(x-4)

+8，
故x-4為16的正約數，…（9分）
所以x-4=1，2，4，8，16，進而得到n=16，18，25．…（10分）
（3）因為g（x）=|x³-3tx|，x∈[-1，1]是偶函數，
所以只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．
記h（x）=x³-3tx，∵h'（x）=3x²-3t=3（x²-t），
①t≤0時，h'（x）≥0，h（x）在[0，1]上單調增且h（x）≥h（0）=0．
∴g（x）=h（x），故F（t）=h（1）=1-3t．…（12分）
②t＞0時，由h'（x）=0得，x=

t

，和x=-

t

，
i．當

t

≥1即t≥1時，h（x）在[0，1]上單調減，
∴h（x）≤h（0）=0，故g（x）=-h（x），F（t）=-h（1）=3t-1．…（14分）
ii．當

t

＜1即0＜t＜1時，h（x）在(0，

t

)單調減，(

t

，1)單調增，
（Ⅰ）當

t

＜1≤2

t

，即

1

4

≤t＜1時，|h(

t

)|＞|h(1)|，∴F(t)=-h(

t

)=2t

t

，
（Ⅱ）當2

t

＜1，即0＜t＜

1

4

時，h(1)＞2t

t

，∴F（t）=h（1）=1-3t，
綜上可知，F(t)=

1-3t，t＜ 1 4 2t t ， 1 4 ≤t＜1 3t-1，t≥1

．…（16分）

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查所有正實數值的求法，考查函數的最大值的求法，解題時時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．