Question

過(guò)點(diǎn)（4，1），且與兩條坐標(biāo)軸正半軸所圍成的三角形面積最小的直線(xiàn)L的方程為（　�。�

A．x+4y-8=0

B．x+y-5=0

C．4x+y-8=0

D．x+2y-4=0

Answer 1

分析：設(shè)直線(xiàn)方程的截距式：

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），根據(jù)點(diǎn)（4，1）在直線(xiàn)上并利用基本不等式，算出ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a=8，b=2時(shí)等號(hào)成立．由此可得三角形面積的最小值，進(jìn)而得到相戀的直線(xiàn)L的方程．

解答：解：設(shè)直線(xiàn)方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）
∵點(diǎn)（4，1）在直線(xiàn)上，∴

4

a

+

1

b

=1
利用基本不等式，得

4

a

+

1

b

≥2

4 a • 1 b

=

16 ab

∴

16 ab

≤1，解之得ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a=8，b=2時(shí)等號(hào)成立
∵直線(xiàn)與與兩條坐標(biāo)軸正半軸所圍成的三角形面積S=

1

2

ab
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=8，b=2時(shí)，三角形面積S有最小值8
此時(shí)的直線(xiàn)方程為

x

8

+

y

2

=1，化簡(jiǎn)得x+4y-8=0
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求直線(xiàn)在兩條坐標(biāo)軸上截得三角形面積的最小值．著重考查了直線(xiàn)的基本量與基本形式、利用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．