Question

已知數(shù)列．
（I）求{a_n}的通項公式；
（II）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據，可構造新數(shù)列{an-}，為等比數(shù)列，求出新數(shù)列的通項公式，再根據新數(shù)列的通項公式，就可求出{a_n}的通項公式．
（II）利用放縮法證明，先求當k由1到n時，（a_k-a_k+1）（sina_k-sina_k+1）的每一項的范圍，可構造函數(shù)f（x）=x-sinx，x∈（0，1]，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，得到a_k-sina_k＞a_k+1-sina_k+1，∴0＜sina_k-sina_k+1＜a_k-a_k+1，再根據又a_k-a_k+1＞0，得到，（a_k-a_k+1）（sina_k-sina_k+1）＜（a_k-a_k+1）²=，最后就可得出結論．
解答：解：（I）∵a_n+a_n+1=，∴a_n+1-），
∴a_n-．
（II）設f（x）=x-sinx，x∈（0，1]，
]單調遞增．∵1＞a_k＞a_k+1＞0，
∴f（a_k）＞f（a_k+1），即a_k-sina_k＞a_k+1-sina_k+1，
∴0＜sina_k-sina_k+1＜a_k-a_k+1，
又a_k-a_k+1＞0，∴（a_k-a_k+1）（sina_k-sina_k+1）＜（a_k-a_k+1）²=，
ⁿ（a_k-a_k+1）（sina_k-sina_k+1）＜
點評：本題考查了數(shù)列和函數(shù)的綜合，綜合性強，做題時應認真分析，找到兩者之間的聯(lián)系．