Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=100n-n²（n∈N^*）．
（1）判斷{a_n}是不是等差數(shù)列，若是，求其首項(xiàng)、公差；
（2）設(shè)b_n=|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1求出通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式判斷．
（2）根據(jù)a_n的通項(xiàng)公式判斷a_n的符號(hào)變化，然后對(duì)n的范圍進(jìn)行討論求和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=99，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=100n-n²-[100（n-1）-（n-1）²]=101-2n，顯然當(dāng)n=1時(shí)，a_n=101-2n也成立．
∴a_n=101-2n，∴a_n+1-a_n=101-2（n+1）-（101-2n）=-2．
∴{a_n}是等差數(shù)列，a₁=99，d=-2．
（2）令a_n≥0，得101-2n≥0，解得n≤50．∴當(dāng)n≤50時(shí)，b_n=a_n，當(dāng)n≥51時(shí)，b_n=-a_n．
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
∴當(dāng)n≤50時(shí)，T_n=S_n=100n-n²，
當(dāng)n≥51時(shí)，T_n=S₅₀-a₅₁-a₅₂-…-a_n=S₅₀-（S_n-S₅₀）=2S₅₀-S_n=2（100×50-50²）-（100n-n²）=n²-100n+5000．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的判斷，數(shù)列求和，判斷出a_n的符號(hào)變化是關(guān)鍵．