Question

【題目】已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使.

（1）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

（2）過點(diǎn)作圓O的切線l，交（1）中曲線E于兩點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）1.

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)，結(jié)合軸于點(diǎn)，得到，將的坐標(biāo)代入即可.

（2）設(shè)直線為，根據(jù)直線與圓相切，得到，將代入，得，利用弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理求得，再求得原點(diǎn)到直線的距離，然后由結(jié)合基本不等式求解.

（1）設(shè)，因?yàn)?/span>，

所以為的中點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>軸于點(diǎn)，

所以，因?yàn)?/span>是圓上任意一點(diǎn)，

所以.

即點(diǎn)M的軌跡E的方程為.

（2）根據(jù)題意直線與y軸不垂直，設(shè)直線為，

因?yàn)橹本�與圓相切，

所以，即，

將代入，得，

，

，

，

，

，

原點(diǎn)到直線的距離為，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).

所以面積的最大值為1