【題目】已知函數(shù).

1)若上的最小值為,求的值;

2)若上恒成立,求的取值范圍.

【答案】(1) (2) a≥1

【解析】試題分析:(1求出通過①若a≥-1,判斷單調性求解最值;②若a≤-e,③若-ea-1,求出函數(shù)的最值,即可得到a的值;
2)化簡表達式為:a.令gx= ,求出hx=g′x=1+lnx-3x2,求出導數(shù),判斷函數(shù)的單調性,求出函數(shù)的最值,即可推出結果.

試題解析:

(1) f′(x).

①若a≥1,則xa≥0,即f′(x)≥0[1,e]上恒成立,

此時f(x)[1,e]上為增函數(shù),∴f(x)minf(1)=-a,a=-(舍去)

②若a≤e,則xa≤0,即f′(x)≤0[1,e]上恒成立,

此時f(x)[1,e]上為減函數(shù),∴f(x)minf(e)1,a=-(舍去)

③若-e<a<1,令f′(x)0x=-a,

1<x<a時,f′(x)<0,f(x)(1,-a)上為減函數(shù);當-a<x<e時,f′(x)>0,f(x)(a,e)上為增函數(shù),

f(x)minf(a)ln(a)1,a=-.綜上所述,a=-.

(2)f(x)<x2,ln x<x2.x>0a>xln xx3.g(x)xln xx3,h(x)g′(x)1ln x3x2,h′(x)6x.x(1,+∞)時,h′(x)<0,h(x)(1,+∞)上是減函數(shù).

h(x)<h(1)=-2<0,即g′(x)<0,g(x)(1,+∞)上也是減函數(shù).g(x)<g(1)=-1,

∴當a≥1時,f(x)<x2(1,+∞)上恒成立.

練習冊系列答案
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