如圖,在三棱錐中,平面,.

(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)設(shè)分別為的中點(diǎn),點(diǎn)為△內(nèi)一點(diǎn),且滿足,
求證:∥面
(Ⅲ)若,,求二面角的余弦值.
(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ)詳見(jiàn)解析;(Ⅲ)

試題分析:(Ⅰ)因?yàn)锳C和PB是異面直線,所以可以采用線面垂直得線線垂直的方法證,即先平面。要證平面需證面內(nèi)的兩條相交線PA和AB都和AC垂直。為已知條件證PA和AC垂直依據(jù)是線面垂直得線線垂直。(Ⅱ)(法一空間向量法)由題意可以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AC,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。分別設(shè)出AB,AC,AP的三邊長(zhǎng),故可得點(diǎn)A,點(diǎn)B點(diǎn)C點(diǎn)P的坐標(biāo),因?yàn)辄c(diǎn)D為PA中點(diǎn),即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo),根據(jù)得到點(diǎn)G的坐標(biāo),即可求出坐標(biāo)和平面PBC的一個(gè)法向量的坐標(biāo),用向量數(shù)量積公式可求得,即,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032927127470.png" style="vertical-align:middle;" />平面,所以∥平面.(法二一般方法)由可知,G為三角形重心。設(shè)AB中點(diǎn)為E,所以G在OE上,根據(jù)中位線可得,連結(jié)并延長(zhǎng)交,連。因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032927221388.png" style="vertical-align:middle;" />∥,且E為AB中點(diǎn),所以G為AF中點(diǎn),所以,內(nèi)線外線平行所以得線面平行。問(wèn)題得證。(Ⅲ)采用空間向量法,由(Ⅰ)可知是面PAB的一個(gè)法向量。先求兩個(gè)法向量所成的角。兩個(gè)法向量所成的角與二面角相等或互補(bǔ)。由觀察可知此二面角為銳二面角,所以余弦值為正值。
試題解析:證明:(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032926550394.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,
所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032926597531.png" style="vertical-align:middle;" />,且,
所以平面
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032927501402.png" style="vertical-align:middle;" />平面,
所以.                                       4分
(Ⅱ)
解法1:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032926550394.png" style="vertical-align:middle;" />平面,所以,.又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032926597531.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè),,,
,
,
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032926815892.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以
于是
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量
,則有
 
不妨設(shè),則有,所以
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240329279232090.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以.又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032927127470.png" style="vertical-align:middle;" />平面,
所以∥平面.                                          9分
解法2:

中點(diǎn),連,則.
由已知可得,
則點(diǎn)上.連結(jié)并延長(zhǎng)交,連.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032928406430.png" style="vertical-align:middle;" />分別為的中點(diǎn),
所以,即的中點(diǎn).
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032926737315.png" style="vertical-align:middle;" />為線段的中點(diǎn),
所以.
平面,平面,
所以∥平面.       9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知平面的一個(gè)法向量
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824032926690433.png" style="vertical-align:middle;" />面,所以面的一個(gè)法向量是
,
由圖可知,二面角為銳角,
所以二面角的余弦值為.                        14分
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