Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點與拋物線y²=12x的焦點重合，且雙曲線的離心率等于$\sqrt{3}$，則該雙曲線的標準方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{27}$-$\frac{{y}^{2}}{18}$=1
• B． $\frac{{y}^{2}}{18}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{24}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由拋物線的方程可得拋物線焦點坐標，即可得雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的焦點坐標，即可得c的值，再雙曲線的離心率公式可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，解可得a的值，由雙曲線的性質(zhì)可得b的值，將a、b的值代入雙曲線方程即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，拋物線y²=12x的焦點在x軸正半軸上，其坐標為（3，0），
則雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1中，一個焦點的坐標為（3，0），即c=3，
又由雙曲線的離心率e=$\sqrt{3}$，則有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，解可得a=$\sqrt{3}$，
則b²=c²-a²=6，
則雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1；
故選：D．

點評 本題考查雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握雙曲線中a、b、c的關(guān)系．