Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)S到點(diǎn)F（1，0）的距離與到直線x=2的距離的比值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（ I）求動(dòng)點(diǎn)S的軌跡E的方程；
（ II）過點(diǎn)F作與x軸不垂直的直線l交軌跡E于P，Q兩點(diǎn)，在線段OF上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•$\overrightarrow{PQ}$=0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）設(shè)S（x，y），用x，y表示出S到F和到直線x=2的距離．列出方程化簡(jiǎn)即可；
（Ⅱ）由（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•$\overrightarrow{PQ}$=0可知|MP|=|MQ|，討論l的斜率，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出PQ的中垂線方程，得出m關(guān)于k的函數(shù)，從而得出m的范圍．

解答 解：（I）設(shè)S（x，y），則|SF|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，S到直線x=2的距離為|x-2|，
∴$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|x-2|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化簡(jiǎn)得$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
∴軌跡E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（Ⅱ）若（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•$\overrightarrow{PQ}$=0，即（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•（$\overrightarrow{MQ}-\overrightarrow{MP}$）=0，
∴|MP|=|MQ|，
（1）若l與x軸重合時(shí)，顯然M與原點(diǎn)重合，m=0；
（2）若直線l的斜率k≠0，則可設(shè)l：y=k（x-1），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0；
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則：x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，代入y=k（x-1）得PQ的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為$\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$，
∴PQ的中垂線方程為y+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），
令y=0得x=$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，即m=$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{1}{2+\frac{1}{{k}^{2}}}$．
∵k²＞0，∴0＜m＜$\frac{1}{2}$，
綜上，段OF上存在點(diǎn)M（m，0）使得（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）•$\overrightarrow{PQ}$=0，m的范圍是[0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系，充分利用|MP|=|MQ|是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．