Question

15．已知函數(shù)$f（x）=4sinxcos（x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$，$x∈[{0，\frac{π}{6}}]$．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）已知銳角△ABC的兩邊長a，b分別為函數(shù)f（x）的最小值與最大值，且△ABC的外接圓半徑為$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出f（x）的值域；
（2）函數(shù)f（x）的最小值與最大值，即求出a、b的值，利用正弦定理列出關(guān)系式，求出AB，C．再求面積．

解答 解：（1）$f（x）=4sinx•（\frac{1}{2}cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx）+\sqrt{3}$
=$2sinxcosx-2\sqrt{3}{sin^2}x+\sqrt{3}$
=$sin2x+\sqrt{3}cos2x$=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$，
∵$0≤x≤\frac{π}{6}$，∴$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{3}）≤1$，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?[{\sqrt{3}，2}]$．
（2）依題意$a=\sqrt{3}$，b=2，△ABC的外接圓半徑$r=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，$sinA=\frac{a}{2r}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
$sinB=\frac{2r}=\frac{2}{{\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$cosB=\frac{1}{3}$，
$sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{6}}}{3}=\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，屬于中檔題．