Question

4．若函數(shù)f（x）=x³-6ax+3a在（0，1）內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 由函數(shù)y=x³-6ax+3a在（0，1）內(nèi)有極小值，求導(dǎo)可得，導(dǎo)函數(shù)在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，分a＞0、a=0、a＜0三種情況，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：對(duì)于函數(shù)y=x³-6ax+3a，求導(dǎo)可得y′=3x²-6a，
∵函數(shù)y=x³-6ax+3a在（0，1）內(nèi)有極小值，
∴y′=3x²-6a=0，則其有一根在（0，1）內(nèi)，當(dāng)a＞0時(shí)，3x²-6a=0兩根為±$\sqrt{2a}$，
若有一根在（0，1）內(nèi)，則0＜$\sqrt{2a}$＜1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$．
當(dāng)a=0時(shí)，3x²-6a=0兩根相等，均為0，f（x）在（0，1）內(nèi)無(wú)極小值．
當(dāng)a＜0時(shí)，3x²-6a=0無(wú)根，f（x）在（0，1）內(nèi)無(wú)極小值，
綜合可得，0＜a＜$\frac{1}{2}$，
故答案為：$（0，\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題．