Question

12．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 以D為原點，AD為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點，AD為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為1，
則B（1，1，0），C₁（0，1，1），D（0，0，0），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
設平面BB₁D₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{D}_{1}}=z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
設直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．