Question

已知橢圓x2+

y2

3

=1的上、下頂點分別為A₁和A₂，M（x₁，y）和N（-x₁，y）是橢圓上兩個不同的動點．
（I）求直線A₁M與A₂N交點的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若過點F（0，2）的動直線z與曲線C交于A、B兩點，

AF

=λ

FB

問在y軸上是否存在定點E，使得

OF

⊥（

EA

-λ

EB

）？若存在，求出E點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設出直線A₁M與A₂N的交點坐標，求出橢圓的兩個頂點坐標，得到直線A₁M與A₂N的方程，兩式作積后再由點M在橢圓上整體消掉M的坐標得直線A₁M與A₂N交點的軌跡C的方程；
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線，由已知可知其斜率一定存在，設其斜率為k，再設出A，B，E的坐標，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，利用根與系數(shù)關系求出A，B兩點的橫坐標的和與積，再分別求出

AF

、λ

FB

、

OF

、

EA

、

EB

的坐標，結合已知

AF

=λ

FB

及

OF

⊥（

EA

-λ

EB

）即可求得E為定點．

解答： 解：（Ⅰ）設直線A₁M與A₂N的交點為P（x，y），
∵A₁，A₂是橢圓x2+

y2

3

=1的上、下頂點，
∴A1(0，

3

)，A2(0，-

3

)，
A₁M：y-

3

=

y1- 3

x1

x，A₂N：y+

3

=

y1+ 3

-x1

x，
兩式相乘得y2-3=

y 2 1 -3

- x 2 1

x2    ①．
而M（x₁，y₁）在橢圓x2+

y2

3

=1（x₁≠0）上，
∴

x

2 1

+

y 2 1

3

=1，即

y 2 1 -3

- x 2 1

=3，
代入①得y²-3=3x²．
又當x=0時，不合題意，去掉頂點．
∴直線A₁M與A₂N的交點的軌跡C的方程是

y2

3

-x2=1(x≠0)；
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線，由已知可知其斜率一定存在，設其斜率為k，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（0，y₀），
由

y=kx+2 y2 3 -x2=1

，得（k²-3）x²+4kx+1=0（k²≠3），
x1+x2=

-4k

k2-3

，x1x2=

1

k2-3

．

AF

=(-x1，2-y1)，

FB

=(x2，y2-2)，
∵

AF

=λ

FB

，∴-x₁=λx₂，
∵x₂≠0，∴λ=-

x1

x2

，
∵

OF

=(0，2)，

EA

=(x1，y1-y0)，

EB

=(x2，y2-y0)，

EA

-λ

EB

=(x1-λx2，y1-y0-λy2+λy0)，
又∵

OF

⊥(

EA

-λ

EB

)，∴

OF

•(

EA

-λ

EB

)=0，
∴0×（x₁-λx₂）+2×（y₁-y₀-λy₂+λy₀）=0，
即y₁-y₀-λy₂+λy₀=0．
將y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，λ=-

x1

x2

代入上式并整理得2kx₁x₂+2（x₁+x₂）=（x₁+x₂）y₀，
當x₁+x₂≠0時，y0=

2kx1x2

x1+x2

+2=

2k k2-3

-4k k2-3

+2=

3

2

，
當x₁+x₂=0時，k=0，2kx₁x₂+2（x₁+x₂）=（x₁+x₂）y₀恒成立，
在y軸上存在定點E，使得

OF

⊥(

EA

-λ

EB

)，點E的坐標為(0，

3

2

)．

點評：本題考查了雙曲線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線間的關系，涉及直線與圓錐曲線間的關系問題，常采用聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關系求解，本題著重考查了“設而不求”的解題思想方法，考查了學生的整體運算能力，是壓軸題．