Question

分別以雙曲線G：

x2

2

-

y2

2

=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線G的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓C．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，

2

)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，過點(diǎn)M且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P，若存在，求出M的坐標(biāo)和△PAB面積的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）確定雙曲線G的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，從而可得橢圓的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，進(jìn)而可求橢圓方程；
（2）假設(shè)存在M（0，t），過點(diǎn)M且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P，AB方程為y=kx+t，代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理結(jié)合

PA

•

PB

=0，即可知M點(diǎn)的坐標(biāo)存在．求出P到直線的距離，線段AB的長，再由面積公式，化簡整理，換元配方，由二次函數(shù)的最值，即可得到所求的最大值．

解答： 解：（1）雙曲線G：x²-y²=2的焦點(diǎn)為（±2，0），頂點(diǎn)為（±

2

，0），
則橢圓的a=2，c=

2

，b=

2

，
所求橢圓方程為C：

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）假設(shè)存在M（0，t），過點(diǎn)M且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P，
AB方程為y=kx+t，代入橢圓方程，
消去y，得（1+2k²）x²+4tkx+2t²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x₁+x₂=

-4kt

1+2k2

，x₁x₂=

2t2-4

1+2k2

，

PA

•

PB

=
（x₁，y₁-

2

）•（x₂，y₂-

2

）=x₁x₂+y₁y₂-

2

（y₁+y₂）+2
=x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）-

2

k（x₁+x₂）-2

2

t+2
=（k²+1）x₁x₂+k（t-

2

）（ x₁+x₂）+t²-2

2

t+2
=（k²+1）

2t2-4

1+2k2

+k（t-

2

）

-4kt

1+2k2

+t²-2

2

t+2
由以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P，可得

PA

•

PB

=0，得3t²-2

2

t-2=0
∴t=

2

（舍去），或t=-

2

3

．
則存在M（0，-

2

3

），過點(diǎn)M且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P．
此時(shí)，P到直線AB的距離d=

4 2

3 1+k2

，|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|，
S_△PAB=

1

2

|AB|d=

2 2

3

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2

3

32k2 9(1+2k2)2 + 128 9(1+2k2)

=

16

9

9k2+4 (1+2k2)2

，令1+2k²=m，則m≥1，即有

1

m

∈(0，1]，S_△PAB=

16

9

9 2 • 1 m - 1 2 • 1 m2

=

16

9

1 2 [ 81 4 -( 1 m - 9 2 )2]

≤

32

9

，當(dāng)且僅當(dāng)m=1，取得最大值，
則△PAB的面積的最大值為

32

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線、橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查存在性問題的處理，解題要細(xì)心．