Question

【題目】我市南澳縣是廣東唯一的海島縣，海區(qū)面積廣闊，發(fā)展太平洋牡蠣養(yǎng)殖業(yè)具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢，所產(chǎn)的“南澳牡蠣”是中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、營養(yǎng)好，素有“海洋牛奶精品”的美譽(yù)．根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)自某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地的單個(gè)“南澳牡蠣”質(zhì)量（克）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布．

（1）購買10只該基地的“南澳牡蠣”，會買到質(zhì)量小于20g的牡蠣的可能性有多大？

（2）2019年該基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投入增量x（人）與年收益增量y（萬元）的數(shù)據(jù)如下：

人工投入增量x（人）	2	3	4	6	8	10	13
年收益增量y（萬元）	13	22	31	42	50	56	58

該基地為了預(yù)測人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：

模型①：由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程：；

模型②：由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線：的附近，對人工投入增量x做變換，令，則，且有．

（i）根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型②中y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.1）；

（ii）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量．

回歸模型	模型①	模型②
回歸方程
	182.4	79.2

附：若隨機(jī)變量，則，；

樣本的最小二乘估計(jì)公式為：，

另，刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)

Answer 1

【答案】（1）1.29%；（2）（i），（ii）見解析

【解析】

（1）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到，購買10只該基地的“南澳牡蠣”，其中質(zhì)量小于20g的牡蠣為X只，故，由間接法列式得到結(jié)果即可；（2）（i）根據(jù)公式計(jì)算得到回歸直線方程；（ii）通過比較的大小可得到擬合效果的差異，將x=16代入回歸方程可得到預(yù)測值.

（1）由已知，單個(gè)“南澳牡蠣”質(zhì)量，則，

由正態(tài)分布的對稱性可知，

，

設(shè)購買10只該基地的“南澳牡蠣”，其中質(zhì)量小于20g的牡蠣為X只，故，

故，

所以這10只“南澳牡蠣”中，會買到質(zhì)量小于20g的牡蠣的可能性僅為1.29%．

（2）（i）由，有

，

且，

所以，模型②中關(guān)于的回歸方程為

（ii）由表格中的數(shù)據(jù)，有，即模型①的小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好．

當(dāng)時(shí)，模型②的收益增量的預(yù)測值為

（萬元），

這個(gè)結(jié)果比模型①的預(yù)測精度更高、更可靠．