Question

【題目】在橢圓外一直線(xiàn)上取 個(gè)不同的點(diǎn)，過(guò)向橢圓作切線(xiàn)、，切點(diǎn)分別為、.記直線(xiàn)為.

（1）若存在正整數(shù)、（、，），使得點(diǎn)在直線(xiàn)上，證明：點(diǎn)在直線(xiàn)上；

（2）試求直線(xiàn)將橢圓分成的區(qū)域的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

設(shè)橢圓:，直線(xiàn)：，.

則點(diǎn)關(guān)于橢圓的切點(diǎn)弦的方程為 ①

（1）直線(xiàn)：，由點(diǎn)在上知.

從而，點(diǎn)也滿(mǎn)足方程①，即點(diǎn)也在直線(xiàn)上.

（2）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，即. ②

由直線(xiàn)在橢圓外知.

將式②代入式①整理得.

從而，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).

而，故該定點(diǎn)在橢圓內(nèi).當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，即

. ③

聯(lián)立橢圓與直線(xiàn)的方程并化簡(jiǎn)得.

由直線(xiàn)在橢圓外知

.

將式③代入式①整理得.

此時(shí)，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).

而，故該定點(diǎn)在橢圓內(nèi).

綜上，直線(xiàn)交于橢圓內(nèi)一定點(diǎn).

故這條直線(xiàn)將橢圓分成個(gè)區(qū)域.