函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù),f(-1)=0,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),則
2010
k=0
f(
k
2
)
的值是
0
0
分析:從xf(x+1)=(1+x)f(x)結(jié)構(gòu)來看,要用遞推的方法,先用賦值法求得,再由依此求解.
解答:解:由xf(x+1)=(1+x)f(x),得-
1
2
f(
1
2
)
=
1
2
f(-
1
2
)
,
又f(x)為偶函數(shù),所以f(
1
2
)=0
,
1
2
f(
3
2
)=
3
2
f(
1
2
)
,所以f(
3
2
)=0
,以此類推,可得f(
1
2
)=f(
3
2
)=…=f(
2009
2
)=0,
f(1)=f(-1)=0,
所以1•f(2)=2f(1),所以f(2)=0,
由2f(3)=3f(2),得f(3)=0,以此類推,可得f(1)=f(2)=f(3)=…=f(1005)=0,
由0•f(1)=1•f(0),得f(0)=0,
所以
2010
k=0
f(
k
2
)
=f(0)+f(
1
2
)+f(1)+f(
3
2
)+…+f(
2009
2
)+f(1005)=0,
故答案為:0.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用函數(shù)的主條件用遞推的方法求函數(shù)值,這類問題關(guān)鍵是將條件和結(jié)論有機(jī)地結(jié)合起來,作適當(dāng)變形,把握遞推的規(guī)律.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),其最小正周期為3,且x∈(-
3
2
,0)時(shí)
,f(x)=log2(-3x+1),則f(2011)=( 。
A、-2
B、2
C、4
D、log27

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在N*的函數(shù),且滿足f(f(k))=3k,f(1)=2,設(shè)an=f(3n-1),b1=1,bn-log3f(an)=b1-log3f(a1).
(I)求bn的表達(dá)式;
(II)求證:
b1
f(a1)
+
b2
f(a2) 
+…+
bn
f(an)
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

奇函數(shù)f(x)是定義在[-1,1]上的增函數(shù),且f(x-1)+f(1-2x)<0,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為
(0,1]
(0,1]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•臨沂二模)已知函數(shù)f(x)是定義在[-e,0)∪(0,e]上的奇函數(shù),當(dāng)x∈[-e,0)時(shí),f(x)=ax-ln(-x),(a<0,a∈R)
(I)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)a,使得當(dāng)x∈(0,e]時(shí)f(x)的最大值是-3,如果存在,求出實(shí)數(shù)a的值;如果不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

注:此題選A題考生做①②小題,選B題考生做①③小題.
已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí)有f(x)=
4xx+4

①求f(x)的解析式;
②(選A題考生做)求f(x)的值域;
③(選B題考生做)若f(2m+1)+f(m2-2m-4)>0,求m的取值范圍.

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