Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁，F(xiàn)₂，長軸長為8，點P為直線l：x+y=2上任意一點，且|PF₁|+|PF₂|的最小值為4．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知直線l：y=$\frac{1}{2}$x+m與橢圓C交于A，B兩點，已知點Q（2，3），求證：直線AQ、BQ關(guān)于直線x=2對稱．

Answer 1

分析 （1）（c，0）關(guān)于直線l：x+y=2的對稱點的坐標為（2，2-c），|PF₁|+|PF₂|的最小值為4，即可求橢圓C的標準方程；
（2）直線AQ、BQ關(guān)于直線x=2對稱，證明k_AQ+k_BQ=0即可．

解答 解：（1）由題意，2a=8，∴a=4，
（c，0）關(guān)于直線l：x+y=2的對稱點的坐標為（2，2-c），
∵|PF₁|+|PF₂|的最小值為4，
∴$\sqrt{（2+c）^{2}+（2-c）^{2}}$=4，
∴c=2，
∴b=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）證明：直線AQ、BQ關(guān)于直線x=2對稱，證明k_AQ+k_BQ=0即可．
直線l：y=$\frac{1}{2}$x+m與橢圓C聯(lián)立，可得x²+mx+m²-12=0，
∴x=$\frac{-m±\sqrt{48-3{m}^{2}}}{2}$，y=$\frac{3m±\sqrt{48-3{m}^{2}}}{4}$，
∴（3m+$\sqrt{48-3{m}^{2}}$-12）（-2m-2$\sqrt{48-3{m}^{2}}$-8）+（3m-$\sqrt{48-3{m}^{2}}$-12）（-2m+2$\sqrt{48-3{m}^{2}}$-8）
=-2（3m-12）（2m+8）-4（48-3m²）=0，
∴k_AQ+k_BQ=0，
∴直線AQ、BQ關(guān)于直線x=2對稱．

點評 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．