Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

3x

3x+ 3

上兩點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），若

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，且P點的橫坐標(biāo)為

1

2

（1）求證：P點的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個值；
（2）若Sn=

n

i=1

f(

i

n

)，n∈N^*，求S_n；
（3）記T_n為數(shù)列{

1

(Sn+ 3 2 )(Sn+1+ 3 2 )

}的前n項和，若Tn＜a•(Sn+2+

3

2

)對一切n∈N^*都成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可設(shè)

OP

=(

1

2

，yp)，由

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，可得x1+x2=1，yp=

y1+y2

2

，代入解析式驗證即可．
（2）由（1）知y1+y2=f(x1)+f(x2)=1，f(1)=

3- 3

2

，而由Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)+f(

n

n

)，可變形為Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)+f(

n

n

)兩式相加可得到解決．
（3）由（2）知Sn=

n+2- 3

2

所以可得到Sn+

3

2

=

n+2

2

，Sn+1+

3

2

=

n+3

2

1

(Sn+ 3 2 )(Sn+1+ 3 2 )

可變形為

4

(n+2)(n+3)

裂項求得T_n，再研究恒成立問題．

解答：解：（1）設(shè)

OP

=(

1

2

，yp)，
又∵

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，
∴x1+x2=1，yp=

y1+y2

2

，
又y1+y2=

3x1

3x1+ 3

+

3x2

3x2+ 3

=1，
∴yp=

y1+y2

2

=

1

2

（2）由x₁+x₂=1，得y1+y2=f(x1)+f(x2)=1，f(1)=

3- 3

2

∴Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)+f(

n

n

)，
又Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)+f(

n

n

)
∴2Sn=

1+1++1+1+1

n-1個

+2f(1)=n+2-

3

，即Sn=

n+2- 3

2

（3）∵Sn+

3

2

=

n+2

2

，∴Sn+1+

3

2

=

n+3

2

，∴

1

(Sn+ 3 2 )(Sn+1+ 3 2 )

=

4

(n+2)(n+3)

，
從而Tn=4[

1

3×4

+

1

4×5

++

1

(n+2)(n+3)

]=

4

3

•

n

n+3

，
由Tn＜a(Sn+2+

3

2

)，Sn+2+

3

2

＞0，∴a＞

Tn

Sn+2+ 3 2

=

8

3

•

n

(n+3)(n+4)

=

8

3

•

1

n+ 12 n +7

令g(n)=n+

12

n

，易證g（n）在[2

3

，+∞)上是增函數(shù)，在(0，2

3

)上是減函數(shù)，我
且g（3）=7，g（4）=7，∴g（n）的最大值為7，即

8

3

•

1

n+ 12 n +7

≤

4

21

，
∴a＞

4

21

點評：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列間的滲透，兩者都有規(guī)律可循經(jīng)常結(jié)合為難度較大的題目，解決思路往往是通過函數(shù)的規(guī)律，由點的坐標(biāo)建立數(shù)列模型來考查數(shù)列的通項或前N項和，進而設(shè)置不等式恒成立問題，考查數(shù)列的增減性或放縮的方法．