設(shè)函數(shù)f(x)=
3x
3x+
3
上兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2),若
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)
,且P點的橫坐標(biāo)為
1
2

(1)求證:P點的縱坐標(biāo)為定值,并求出這個值;
(2)若Sn=
n
i=1
f(
i
n
)
,n∈N*,求Sn;
(3)記Tn為數(shù)列{
1
(Sn+
3
2
)(Sn+1+
3
2
)
}
的前n項和,若Tn<a•(Sn+2+
3
2
)
對一切n∈N*都成立,試求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)可設(shè)
OP
=(
1
2
yp)
,由
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)
,可得x1+x2=1,yp=
y1+y2
2
,代入解析式驗證即可.
(2)由(1)知y1+y2=f(x1)+f(x2)=1,f(1)=
3-
3
2
,而由Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)++f(
n-1
n
)+f(
n
n
)
,可變形為Sn=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)++f(
1
n
)+f(
n
n
)
兩式相加可得到解決.
(3)由(2)知Sn=
n+2-
3
2
所以可得到Sn+
3
2
=
n+2
2
,Sn+1+
3
2
=
n+3
2
1
(Sn+
3
2
)(Sn+1+
3
2
)
可變形為
4
(n+2)(n+3)
裂項求得Tn,再研究恒成立問題.
解答:解:(1)設(shè)
OP
=(
1
2
yp)
,
又∵
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)

x1+x2=1,yp=
y1+y2
2
,
y1+y2=
3x1
3x1+
3
+
3x2
3x2+
3
=1
,
yp=
y1+y2
2
=
1
2


(2)由x1+x2=1,得y1+y2=f(x1)+f(x2)=1,f(1)=
3-
3
2

Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)++f(
n-1
n
)+f(
n
n
)

Sn=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)++f(
1
n
)+f(
n
n
)

2Sn=
1+1++1+1+1
n-1個
+2f(1)=n+2-
3
,即Sn=
n+2-
3
2

(3)∵Sn+
3
2
=
n+2
2
,∴Sn+1+
3
2
=
n+3
2
,∴
1
(Sn+
3
2
)(Sn+1+
3
2
)
=
4
(n+2)(n+3)

從而Tn=4[
1
3×4
+
1
4×5
++
1
(n+2)(n+3)
]=
4
3
n
n+3
,
Tn<a(Sn+2+
3
2
),Sn+2+
3
2
>0
,∴a>
Tn
Sn+2+
3
2
=
8
3
n
(n+3)(n+4)
=
8
3
1
n+
12
n
+7

g(n)=n+
12
n
,易證g(n)在[2
3
,+∞)
上是增函數(shù),在(0,2
3
)
上是減函數(shù),我
且g(3)=7,g(4)=7,∴g(n)的最大值為7,即
8
3
1
n+
12
n
+7
4
21
,
a>
4
21
點評:本題主要考查函數(shù)與數(shù)列間的滲透,兩者都有規(guī)律可循經(jīng)常結(jié)合為難度較大的題目,解決思路往往是通過函數(shù)的規(guī)律,由點的坐標(biāo)建立數(shù)列模型來考查數(shù)列的通項或前N項和,進而設(shè)置不等式恒成立問題,考查數(shù)列的增減性或放縮的方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
3x+4
x2+1
,g(x)=
6a2
x+a
,a
1
3

(1)求函數(shù)f(x)的極大值與極小值;
(2)若對函數(shù)的x0∈[0,a],總存在相應(yīng)的x1,x2∈[0,a],使得g(x1)≤f(x0)≤g(x2)成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
3x,x≤0
log3x,x>0
,則f[f(-1)]=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
3x+1
x2-1
-
2
x-1
(x≠1)
a(x=1)
在x=1處連續(xù),則a的值為(  )
A、
1
2
B、
1
4
C、-
1
3
D、-
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
3x,x∈(-∞,1]
log81x,x∈(1,+∞).
f(f(
1
4
))
的值為
1
16
1
16

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
3
x
+lnx
,則( 。

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