已知函數(shù)f(x)=x3+x.
(1)試求函數(shù)f(x)的零點(diǎn);
(2)是否存在自然數(shù)n,使f(n)=1000.若存在,求出n;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)、令f(x)=0,即x3+x=0,所以x3+x=x(x2+1)=0,可得方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)的根為x=0,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有一個(gè)為0.
(2)、由于f′(x)=3x2+1≥0,所以,f(x)在R上是增函數(shù).當(dāng)x=9時(shí),f(9)=738;當(dāng)x=10時(shí),f(10)=1010.所以,不存在n,使f(n)=1000.
分析:(1)、求f(x)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為f(x)=0的實(shí)數(shù)根,解方程即可.
(2)、利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性,然后驗(yàn)證f(9)=738,f(10)=1010,即可得出.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的實(shí)數(shù)根的聯(lián)系,以及函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值問題.