Question

已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x），存在實數(shù)x使得對任意實數(shù)x₁，x₂，總有f（xx₁+xx₂）=f（x）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x的值；
（2）若f（x）=1，且對任意的正整數(shù)n．有，記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比較與T_n的大小關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意對于任意實數(shù)x₁，x₂等式恒成立，故可采用賦值法求解；
（2）先證明{f（n）}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，由此得 ，從而可求S_n，再證{b_n}是等比數(shù)列從而可求T_n，代入與T_n作差，利用二項式定理展開，進行放縮，即可求得結(jié)果．
解答：解：（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x）+2f（0），∴f（x）=-f（0）．①
令x₁=1，x₂=0，得f（x）=f（x）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）．②
由①②得   f（x）=f（1）．∴f（x）為單調(diào)函數(shù)，
∴x=1．
（2）由（1）得f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+f（1）=f（x₁）+f（x₂）+1．
∵f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，f（1）=1，∴f（n）=2n-1．（n∈Z^*）
∴．
又∵
∴．
又，
∴．
∴．
∴
=

=．
∴．
∵4ⁿ=（3+1）ⁿ=C_nⁿ3ⁿ+C_n^n-13^n-1+…+C_n¹3+C_n≥3n+1＞2n+1，
∴．
∴．
點評：本題考查抽象函數(shù)的求值問題，一般采用賦值法解決，求數(shù)列的和，關(guān)鍵是求出其通項，再利用相應(yīng)的求和公式，不等式中的恒成立問題，往往相應(yīng)借助于函數(shù)的單調(diào)性解決．綜合性較強，屬難題．