Question

17．若函數(shù)f（x）=x²（x-a）在（2，3）上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（3，$\frac{9}{2}$）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)f（x）在（2，3）不單調(diào)，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），
令f′（x）=0，解得：x=0或x=$\frac{2a}{3}$，
（1）a＞0時(shí)，

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{2a}{3}$）	$\frac{2a}{3}$	（$\frac{2a}{3}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增		遞減		遞增

（2）a＜0時(shí)，

x	（-∞，$\frac{2a}{3}$）	$\frac{2a}{3}$	（$\frac{2a}{3}$，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增		遞減		遞增

若函數(shù)f（x）=x²（x-a）在（2，3）上不單調(diào)，
則2＜$\frac{2a}{3}$＜3，解得：3＜a＜$\frac{9}{2}$，
故答案為：（3，$\frac{9}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．