Question

5．觀察下列不等式
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{3}{2}$
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{5}{3}$
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$＜$\frac{7}{4}$，…
照此規(guī)律，第n個不等式為$1+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{2n+1}{n+1}$．

Answer 1

分析 依題意觀察不等式的左邊的變化是一個數(shù)列$\{\frac{1}{{n}^{2}}\}$的求和形式．最后一項是$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．不等式的右邊是$\frac{2n+1}{n+1}$的形式，進而得到答案．

解答 解：由已知中不等式：
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{3}{2}$
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{5}{3}$
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$＜$\frac{7}{4}$，…
依題意觀察不等式的左邊的變化是一個數(shù)列$\{\frac{1}{{n}^{2}}\}$的求和形式．
最后一項是$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．
不等式的右邊是$\frac{2n+1}{n+1}$的形式．
所以第n個式子應該是$1+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{2n+1}{n+1}$．
故答案為$1+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{2n+1}{n+1}$．

點評 本題考查的知識點是：1．歸納推理.2．數(shù)列求和的思想.3．數(shù)列的通項，難度中檔．