如圖,已知圓O:x2+y2=2交x軸于A,B兩點,點P(-1,1)為圓O上一點.曲線C是以AB為長軸,離心率為數(shù)學(xué)公式的橢圓,點F為其右焦點.過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準線l于點Q.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)證明:直線PQ與圓O相切.

解:(1)由題意,得a=,e=,
∴c=1,∴b2=1.
所以橢圓C的標準方程為.(6分)
(2)∵P(-1,1),F(xiàn)(1,0),
,∴kOQ=2.
所以直線OQ的方程為y=2x.(10分)
又橢圓的右準線方程為x=2,所以Q(2,4),所以
又kOP=-1,所以kPQ•kOP=-1,即OP⊥PQ.
故直線PQ與圓O相切.(15分)
分析:(1)由題意,得a=,e=,c=1,b2=1.由此可知橢圓C的標準方程為
(2)由題意知直線OQ的方程為y=2x,又橢圓的右準線方程為x=2,所以Q(2,4),.由此可知OP⊥PQ.所以直線PQ與圓O相切.
點評:本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系,解題時要注意公式的靈活運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知圓O:x2+y2=1,O為坐標原點.
(1)邊長為
2
的正方形ABCD的頂點A、B均在圓O上,C、D在圓O外,當(dāng)點A在圓O上運動時,C點的軌跡為E.
①求軌跡E的方程;
②過軌跡E上一定點P(x0,y0)作相互垂直的兩條直線l1,l2,并且使它們分別與圓O、軌跡E相交,設(shè)l1被圓O截得的弦長為a,設(shè)l2被軌跡E截得的弦長為b,求a+b的最大值.
(2)正方形ABCD的一邊AB為圓O的一條弦,求線段OC長度的最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知圓O:x2+y2=2交x軸于A,B兩點,點P(-1,1)為圓O上一點.曲線C是以AB為長軸,離心率為
2
2
的橢圓,點F為其右焦點.過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準線l于點Q.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)證明:直線PQ與圓O相切.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知圓O:x2+y2=2交x軸于A、B兩點,P在圓O上運動(不與A、B重合),過P作直線l1,OS垂直于l1交直線l2:x=-3于點S.
(1)求證:“如果直線l1過點T(-1,0),那么
OP
PS
=1
”為真命題;
(2)寫出(1)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分15分)如圖,已知圓Ox2+y2=2交x軸于A,B兩點,曲線C是以AB為長軸,離心率為的橢圓,其右焦點為F.若點P(-1,1)為圓O上一點,連結(jié)PF,過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準線l于點Q.(1)求橢圓C的標準方程;

(2)證明:直線PQ與圓O相切.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知圓Ox2+y2=2交x軸于AB兩點,點P(-1,1)為圓O上一點.曲線C是以AB為長軸,離心率為的橢圓,點F為其右焦點.

過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準線l于點Q

(1)求橢圓C的標準方程;(2)證明:直線PQ與圓O相切.

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