Question

已知f(x)=

ex

x

，給定正的常數(shù)k，解不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0．

Answer 1

分析：本題先要求對商的導(dǎo)數(shù)，再代入已知不等式，通過通分等手段化為（x-1）（kx-1）＜0，然后針對k進(jìn)行分類討論，當(dāng)0＜k＜1時(shí)，1＜

1

k

，解得1＜x＜

1

k

；當(dāng)k=1時(shí)，1=

1

k

，不等式無解；當(dāng)k＞1時(shí)，1＞

1

k

，解得

1

k

＜x＜1，注意最后寫成集合的形式．

解答：解：∵f(x)=

ex

x

，∴f′（x）=

(ex)′x-ex(x)′

x2

=

ex(x-1)

x2

，
不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0可化為，

ex(x-1)

x2

+k（1-x）

ex

x

＞0，即

ex(x-1)+k(1-x)xex

x2

＞0
變形得

ex(x-1)(1-kx)

x2

＞0，即

ex(x-1)(kx-1)

x2

＜0，
只需（x-1）（kx-1）＜0，對應(yīng)方程的兩根分別為1，

1

k

當(dāng)0＜k＜1時(shí)，1＜

1

k

，解得1＜x＜

1

k

；
當(dāng)k=1時(shí)，1=

1

k

，不等式無解；
當(dāng)k＞1時(shí)，1＞

1

k

，解得

1

k

＜x＜1．
故不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集為：
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，{x|1＜x＜

1

k

}；
當(dāng)k=1時(shí)，空集；
當(dāng)k＞1時(shí)，{x|

1

k

＜x＜1}．

點(diǎn)評：本題為不等式的解法與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)合，注意不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意在解不等式（x-1）（kx-1）＜0時(shí)，對k的討論，屬中檔題．