Question

5．已知定義在R上的函數f（x）是奇函數，滿足f（x+3）=f（x），f（-2）=-3，數列{a_n}滿足a₁=-1，且前n項和S_n滿足$\frac{S_n}{n}=2×\frac{a_n}{n}+1$，則f（a₅）+f（a₆）=（　�。�

• A． 3
• B． -3
• C． 0
• D． 6

Answer 1

分析 可由$\frac{{S}_{n}}{n}=2×\frac{{a}_{n}}{n}+1$得到S_n=2a_n+n，從而可得出a_n=2a_n-1-1，這樣即可求出a₅=-31，a₆=-63，而由f（x+3）=f（x）可知f（x）的周期為3，從而可以得出f（a₅）+f（a₆）=f（2）+f（0），而由條件可以得出f（2）=3，f（0）=0，從而便可得出f（a₅）+f（a₆）的值．

解答 解：由$\frac{{S}_{n}}{n}=2×\frac{{a}_{n}}{n}+1$得，S_n=2a_n+n；
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n+n-2a_n-1-n+1；
∴a_n=2a_n-1-1，又a₁=-1；
∴a₂=-3，a₃=-7，a₄=-15，a₅=-31，a₆=-63；
由f（x+3）=f（x）知，f（x）的周期為3，且f（-2）=-3，f（0）=0，f（x）為R上的奇函數；
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f[2+3×（-11）]+f[0+3×（-21）]=f（2）+f（0）=3．
故選：A．

點評 考查數列前n項和的定義，知道a_n=S_n-S_n-1，以及周期函數的定義，奇函數的定義，奇函數在原點有定義時，原點處的函數值為0．