Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且f（a_n+1）=，則a₂₀₁₀的值為（ ）
A．4016
B．4017
C．4018
D．4019

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，底數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)符合題中條件，不妨令f（x）=，從而求得a₁=f（0）=1，再由（n∈N^*），得a_n+1=a_n+2，再由等差數(shù)列的定義求得結(jié)果．
解答：解：根據(jù)題意，不妨設(shè)f（x）=，（其中x∈R）；則a₁=f（0）=1，
∵（n∈N^*），∴==，∴a_n+1=a_n+2；
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列；∴a_n=2n-1，∴a₂₀₁₀=4019．
故選：D．
點評：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合運用，本題中的條件滿足底數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)，不妨用特殊值法來解答，可以提高解題效率．