Question

18．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{{x}^{2}+1}，x≥0}\\{-\frac{1}{x}，x＜0}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-t有三個不同的零點x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），則
-$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$的取值范圍是$（\frac{5}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)的圖象，求出x≥0時f（x）的最大值，判斷零點的范圍，然后推出結果．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{{x}^{2}+1}，x≥0}\\{-\frac{1}{x}，x＜0}\end{array}\right.$，圖象如圖，
函數(shù)g（x）=f（x）-t有三個不同的零點x₁，x₂，x₃，
且x₁＜x₂＜x₃，即方程f（x）=t有三個不同的實數(shù)根
x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
當x＞0時，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$，因為x+$\frac{1}{x}$≥2（x＞0），
所以f（x）$≤\frac{1}{2}$，當且僅當x=1時取得最大值．
當y=$\frac{1}{2}$時，x₁=-2；x₂=x₃=1，
此時-$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$=$\frac{5}{2}$，
由$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$=t（0$＜t＜\frac{1}{2}$），可得${x}^{2}-\frac{x}{t}+1$=0，∴x₂+x₃=$\frac{1}{t}$，x₂x₃=1
∴$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$=$\frac{1}{t}$＞2，
∴-$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$=t+$\frac{1}{t}$
∵0$＜t＜\frac{1}{2}$，∴-$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$的取值范圍是$（\frac{5}{2}，+∞）$．
故答案為$（\frac{5}{2}，+∞）$．

點評 本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的判斷與應用，基本不等式的應用，考查數(shù)形結合思想以及轉化思想的應用．