Question

已知函數(shù)f（x）=x（x²-ax-3）．
（Ⅰ）若x=-

1

3

是f(x)的極值點(diǎn)，求f（x）在[1，4]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=x（x²-ax-3），x∈R，x=-

1

3

是f(x)的極值點(diǎn)，知f′(-

1

3

)=

1

3

+

2

3

a-3=0，由此得到f（x）=x³-4x²-3x，從而能求出f（x）在[1，4]上的最大值．
（Ⅱ）由f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，知3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．由此能求出a的范圍．
（Ⅲ）函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于方程x³-4x²-3x=bx恰有3個(gè)不等實(shí)根，由此能求出存在滿足條件的b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x（x²-ax-3），x∈R，
∴f′（x）=3x²-2ax-3．…（2分）
∵x=-

1

3

是f(x)的極值點(diǎn)，∴f′(-

1

3

)=

1

3

+

2

3

a-3=0，
解得a=4．
∴f（x）=x³-4x²-3x，令f′（x）=3x²-8x-3，
得x1=-

1

3

，x₂=3，則當(dāng)x在[1，4]上變化時(shí)，f′（x）與f（x）變化情況如下表：

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′ (x)		-	0	+
f（x）	-6	減	-18	增	-12

∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=-6．…（5分）
（Ⅱ）∵f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
即a≤

3

2

（x-

1

x

）在[1，+∞）上恒成立，
∴只需a≤[

3

2

（x-

1

x

）]_min（x≥1）即可，
而當(dāng)x≥1，[

3

2

（x-

1

x

）]_min=

3

2

（1-1）=0，
∴a≤0．…（10分）
（Ⅲ）函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，
即方程x³-4x²-3x=bx恰有3個(gè)不等實(shí)根．…（11分）
∴x³-4x²-3x-bx=0，
∴x=0是其中一個(gè)根，…（12分）
∴方程x²-4x-3-b=0有兩個(gè)非零不等實(shí)根，
∴

△=16+4(3+b)＞0 -3-b≠0

，
解得b＞-7，且b≠-3．
∴存在滿足條件的b值，b的取值范圍是（-7，-3）∪（-3，+∞）…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最大值的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．