Question

8．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sina}\end{array}\right.$（a為參數），以坐標原點為極點，以x軸的正半周為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$．
（1）寫出C₁的普通方程和C₂的直角坐標方程；
（2）設點P在C₁上，點Q在C₂上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉化方法，即可寫出C₁的普通方程和C₂的直角坐標方程；
（2）設P（cosα，$\sqrt{3}$sinα），則|PQ|的最小值為P到x+y-6=0距離，利用三角函數知識即可求解．

解答 解：（1）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sina}\end{array}\right.$（a為參數），普通方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
曲線C₂的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=3$\sqrt{2}$，即ρcosθ+ρsinθ-6=0，直角坐標方程為x+y-6=0；
（2）設P（cosα，$\sqrt{3}$sinα），則|PQ|的最小值為P到x+y-6=0距離，
即$\frac{|cosα+\sqrt{3}sinα-6|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|sin（α+$\frac{π}{6}$）-3|，
當且僅當α=2kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）時，|PQ|取得最小值2$\sqrt{2}$，此時P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查三種方程的轉化，考查參數方程的運用，屬于中檔題．