Question

13．已知橢圓C：x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，直線l：y=2x+m（m∈R），點(diǎn)M（1，0）．
（1）若直線l與橢圓C恒有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）若動(dòng)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P，求|PM|的最小值．

Answer 1

分析 （1）將直線方程代入橢圓方程，由△≥0，即可求得m的取值范圍；
（2）由（1）可知：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得|PM|的最小值．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，整理得：8x²+4mx+m²-4=0，
由△=（4m）²-4×8×（m²-4）≥0，解得：-2$\sqrt{2}$≤m≤2$\sqrt{2}$，
則m的取值范圍[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]；
（2）動(dòng)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）可知：x₁+x₂=-$\frac{m}{2}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{8}$，
則y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2m=m，
則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)P（-$\frac{m}{4}$，$\frac{m}{2}$），
∴|PM|²=（1+$\frac{m}{4}$）²+（$\frac{m}{2}$-0）²=$\frac{5}{16}$m²+$\frac{1}{2}$m+1，-2$\sqrt{2}$≤m≤2$\sqrt{2}$，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：m=-$\frac{4}{5}$時(shí)，丨PM丨取最小值，
則丨PM丨的最小值為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴|PM|的最小值$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．