Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（3，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=2PO，動(dòng)點(diǎn)Q（3a，4a+5）（a∈R），則線段PQ長(zhǎng)度的最小值為0．

Answer 1

分析 求出圓的方程并化為標(biāo)準(zhǔn)形式，由條件求得點(diǎn)Q（3a，4a+5）到圓心（-1，0）的距離d的最小值，將d的最小值減去圓的半徑，即為所求．

解答 解：∵點(diǎn)A（3，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=2PO，
設(shè)P（x，y），則有（x-3）²+y²=4x²+4y²，
∴（x+1）²+y²=4，表示以（-1，0）為圓心、半徑等于2的圓．
點(diǎn)Q（3a，4a+5）到圓心（-1，0）的距離
d=$\sqrt{{（3a+1）}^{2}{+（4a+5）}^{2}}$=$\sqrt{2{5（a+\frac{23}{25}）}^{2}+\frac{21}{25}}$≥$\frac{\sqrt{21}}{5}$，
故距離d可以是2，此時(shí)PQ=0，
故線段PQ長(zhǎng)度的最小值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的一般方程，直線和圓的位置關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，求出點(diǎn)Q到圓心的距離d的最小值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．