Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，2S_n=（n+1）²a_n-n²a_n+1，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_nb_n+1=$λ•{2}^{{a}_{n}}$．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在正實(shí)數(shù)λ，便得{b_n}為等比數(shù)列？并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)遞推公式，得到2a_n=a_n+1+a_n-1，繼而得到數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，求出公差d，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，
（Ⅱ）根據(jù)遞推公式，得到b_n+2=4b_n，求出b₂，b₃，若{b_n}為等比數(shù)列，則滿足（b₂）²=b₃•b₁，繼而求出正實(shí)數(shù)λ．

解答 解：（Ⅰ）由2S_n=（n+1）²a_n-n²a_n+1，得到2S_n-1=n²a_n-1-（n-1）²a_n，
∴2a_n=（n+1）²a_n-n²a_n+1-n²a_n-1+（n-1）²a_n，
∴2a_n=a_n+1+a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∵2S₁=（1+1）²a₁-a₂，
∴4=8-a₂，
∴a₂=4，
∴d=a₂-a₁=4-2=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
（Ⅱ）∵b_nb_n+1=$λ•{2}^{{a}_{n}}$=λ•4ⁿ，b₁=1，
∴b₂b₁=4λ，
∴b₂=4λ，
∴b_n+1b_n+2=λ•4ⁿ⁺¹，
∴$\frac{_{n+1}_{n+2}}{_{n}_{n+1}}$=4，
∴b_n+2=4b_n，
∴b₃=4b₁=4，
若{b_n}為等比數(shù)列，
則（b₂）²=b₃•b₁，
∴16λ²=4×1，
∴λ=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和等差數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．