Question

如圖，一水渠的橫斷面是拋物線形，O是拋物線的頂點，口寬EF=4米，高3米
（1）建立適當的直角坐標系，求拋物線方程．
（2）現將水渠橫斷面改造成等腰梯形ABCD，要求高度不變，只挖土，不填土，求梯形ABCD的下底AB多大時，所挖的土最少？

Answer 1

分析：（1）如圖以O為原點，AB所在的直線為X軸，建立平面直角坐標系，此模型是一個開口向上的拋物線，由題設條件求出其方程即可
（2）求出拋物線的切線，表示成梯形上下底的寬度，利用面積公式表示出梯形的面積，再根據所得的解析式，求出面積的最小值，求出面積最小時AB的寬度即可

解答：解：（1）解：如圖以O為原點，AB所在的直線為X軸，建立平面直角坐標系，
則F（2，3），設拋物線的方程是x²=2py（p＞0）
因為點F在拋物線上，所以4=2p×3，p=

2

3

所以拋物線的方程是x2=

4

3

y（5分）
（2）解：等腰梯形ABCD中，AB∥CD，線段AB的中點O是拋物線的頂點，AD，AB，BC分別與拋物線切于點M，O，N
y'=

3

2

x，設N（x₀，y₀），x₀＞0，，
則拋物線在N處的切線方程是y-y₀=

3

2

x0(x-x0)，所以B(

1

2

x0，0)C(

4+x0 2

2x0

，3)，（10分）
梯形ABCD的面積是S=

1

2

(x0+

4+x0 2

2x0

)×3=

3

2

(2x0+

4

x0

)=3(x0+

2

x0

)≥6

2

，等號當且僅當x0=

2

時成立，
答：梯形ABCD的下底AB=

2

米時，所挖的土最少（12分）

點評：本題考查拋物線方程的應用，解題的關鍵是根據拋物線的方程將實際問題的量表示出來，本題是建立面積的函數表達式再根據實際情況求出最值成立時的條件．本題數形結合，運算量頗大，做題時要嚴謹，認真，避免運算變形出錯導致解題失敗．