Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最大值；

（2）若函數(shù)與有相同極值點(diǎn)，

（�。┣髮�(shí)數(shù)的值；

（ⅱ）若對(duì)于，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）的最大值為；（2）（i）；（ii）．

【解析】

試題分析：（1）考慮通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性來求其最大值：，從而可知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，因此的最大值為；（2）（i）根據(jù)條件函數(shù)與有相同極值點(diǎn)，即與有相同的零點(diǎn)，從而由（1），即有；（ii）首先根據(jù)前述問題可知，，，，而要使不等式恒成立，故需對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，從而可得①當(dāng)，即時(shí)，對(duì)于，不等式恒成立

，∵，

∴，又∵，∴，

②當(dāng)，即時(shí)，對(duì)于，不等式，

，

∵，∴，又∵，∴，

即實(shí)數(shù)的取值范圍為．

試題解析：（1）， 1分 由得，

由得，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)， 3分

∴函數(shù)的最大值為； 4分（2）∵，∴，

（i）由（1）知，是函數(shù)的極值點(diǎn)，又∵函數(shù)與有相同極值點(diǎn)，

∴ 是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，解得， 7分

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極小值，符合題意； 8分

（ⅱ）∵，，， ∵， 即，

∴，， 9分

由（ⅰ）知，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∵，

而，∴，∴，， 10分

①當(dāng)，即時(shí)，對(duì)于，不等式恒成立

，

∵，∴，又∵，∴， 12分

②當(dāng)，即時(shí)，對(duì)于，不等式，

，

∵，

∴，又∵，∴，

綜上，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍為． 14分

考點(diǎn)：1．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用；2．恒成立問題．