Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處有極值10，求實(shí)數(shù)a，b的值；并判斷f（1）=10是極大值還是極小值．

Answer 1

解：∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²
∴f'（x）=3x²+2ax+b，
又∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處有極值10，
∴解得：或
當(dāng)a=4，b=-11時(shí)，，f（x）在，在，在（1，+∞）↑
∴f（x）在x=1處取得極小值f（1）=10；
當(dāng)a=-3，b=3時(shí)，f'（x）=3（x-1）²≥0，f（x）在R上單增，無極值．
∴a=4，b=-11；且f（1）=10是極小值．
分析：根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處有極值10，我們可得到，根據(jù)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式后，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程即可求出a，b的，根據(jù)第一步中a，b的值，我們求出函數(shù)的解析式，分析函數(shù)在X=1兩側(cè)的單調(diào)性，即可判斷出f（1）=10是極大值還是極小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知條件，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，是解答本題的關(guān)鍵，在解答過程中，解方程組，可以求出兩組滿足條件的a，b的值，其中一組可導(dǎo)致f（x）在R上單增，不滿足題目要求，要舍去，這是本題解答中的一個(gè)易忽略點(diǎn)．