已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求實數(shù)a，b的值；并判斷f（1）=10是極大值還是極小值．

解：∵函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2
∴f'（x）=3x2+2ax+b，
又∵函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，
∴解得：或
當a=4，b=-11時，，f（x）在，在，在（1，+∞）↑
∴f（x）在x=1處取得極小值f（1）=10；
當a=-3，b=3時，f'（x）=3（x-1）2≥0，f（x）在R上單增，無極值．
∴a=4，b=-11；且f（1）=10是極小值．
分析：根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，我們可得到，根據(jù)函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2，求出導函數(shù)的解析式后，構造關于a，b的方程，解方程即可求出a，b的，根據(jù)第一步中a，b的值，我們求出函數(shù)的解析式，分析函數(shù)在X=1兩側(cè)的單調(diào)性，即可判斷出f（1）=10是極大值還是極小值．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知條件，構造關于a，b的方程，是解答本題的關鍵，在解答過程中，解方程組，可以求出兩組滿足條件的a，b的值，其中一組可導致f（x）在R上單增，不滿足題目要求，要舍去，這是本題解答中的一個易忽略點．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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