如圖,正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱中點(diǎn)為E,
(1)求證:PA∥截面BDE;
(2)求證:平面PAC⊥截面BDE;
(3)如果PA=5,AB=3
2
,求PA與平面BDE的距離.
分析:(1)先根據(jù)中位線定理得到OE∥AP,進(jìn)而再由線面平行的判定定理可得到PA∥平面BDE.
(2)先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得到PO⊥BD,結(jié)合AC⊥BD根據(jù)線面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC,從而根據(jù)面面垂直的判定定理得到平面PAC⊥平面BDE,得證.
(3)由(2)知,平面PAC⊥平面BDE,得到PA到平面BDE的距離即為PA與OE之間的距離,過(guò)O作OF⊥PA,F(xiàn)為垂足,根據(jù)等面積法得到結(jié)果.
解答:解:

(1)連接OE,∵OE是△PAC的中位線,∴OE∥PA
又OE?平面BDE,∴AP∥截面BDE---------------------------------------------------------4′
(2)連接PO,∵P-ABCD時(shí)正四棱錐,∴PO⊥平面ABCD
∴BO⊥PO;又BD⊥AC,∴BD⊥平面PAC
又BD?平面DBE∴平面PAC⊥截面BDE---------------------------------------------------9′
(3)由(2)知,平面PAC⊥平面BDE
∴PA到平面BDE的距離即為PA與OE之間的距離
過(guò)O作OF⊥PA,F(xiàn)為垂足
∴OF=
AO•PO
AP
,∵AO=3,PO=4,∴OF=
12
5

即PA 與平面BDE 的距離為
12
5
-------------------------------------------------------------14′
點(diǎn)評(píng):本題主要考查中位線定理、線面平行的判定定理和面面垂直的判定定理.考查立體幾何的基本定理和空間想象能力.
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