Question

已知△ABC的頂點(diǎn)A（0，1），BC邊所在的直線方程為x-4y-2=0，AC邊所在直線的方程為x=0，AB邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為E(1，

1

2

)．
（1）求△ABC的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)F（-1，-2）的直線分別交x軸、y軸的負(fù)半軸于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)|FM|•|FN|最小時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）聯(lián)立

x-4y-2=0 x=0

，解得C點(diǎn)的坐標(biāo)．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）設(shè)直線l的方程為y+2=k（x+1），分別令x=0，y=0，可得M，N的坐標(biāo)．再利用兩點(diǎn)之間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）∵BC邊所在的直線方程為x-4y-2=0，AC邊所在直線的方程為x=0，
聯(lián)立

x-4y-2=0 x=0

，解得x=0，y=-

1

2

．
∴C(0，-

1

2

)，
又∵AB邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為E(1，

1

2

)．
∴

0+xB 2 =1 1+yB 2 = 1 2

，解得x_B=2，y_B=0．
∴B（2，0）．
（2）設(shè)直線l的方程為y+2=k（x+1），
令x=0，得y=k-2，則M(

2

k

-1，0)
令y=0，得x=

2

k

-1，則N（0，k-2）．
∴|FM|•|FN|=

4 k2 +4

•

k2+1

=

4k2+ 4 k2 +8

≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)k2=

1

k2

，即k=±1時(shí)等號(hào)成立，
但k＜0，故直線l的方程為：x+y+3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)之間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．