Question

16．若函數(shù)y₁=2sinx₁（x₁∈[0，2π]），函數(shù)y₂=x₂+$\sqrt{3}$，則（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² 的最小值為
（　　）

• A． $\frac{{π}^{2}}{9}$
• B． $\frac{{π}^{2}}{18}$
• C． 3π²
• D． 4π

Answer 1

分析 要求的式子表示曲線y₁=2sinx₁（x₁∈[0，2π]）與直線y₂=x₂+$\sqrt{3}$上兩點間的距離的平方，令∵${{y}_{1}}^{′}$=1，求得與直線y₂=x₂+$\sqrt{3}$平行的切線對應(yīng)切點的坐標，再利用點到直線的距離公式，求得切點直線y₂=x₂+$\sqrt{3}$的距離，從而求得（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² 的最小值．

解答 解：∵函數(shù)y₁=2sinx₁（x₁∈[0，2π]），函數(shù)y₂=x₂+$\sqrt{3}$，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² 表示曲線y₁=2sinx₁（x₁∈[0，2π]）
與直線y₂=x₂+$\sqrt{3}$上兩點間的距離的平方，
∵${{y}_{1}}^{′}$=2cosx₁，令${{y}_{1}}^{′}$=1，求得cosx₁=$\frac{1}{2}$，∴x₁=$\frac{π}{3}$ 或x₁=$\frac{5π}{3}$，
當x₁=$\frac{π}{3}$ 時，y₁=2sinx₁上的點（$\frac{π}{3}$，$\sqrt{3}$）到直線y₂=x₂+$\sqrt{3}$的距離為$\frac{|\frac{π}{3}-\sqrt{3}+\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}π$，
故（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² 的最小值為$\frac{{2π}^{2}}{36}$=$\frac{{π}^{2}}{18}$．
當x₁=$\frac{5π}{3}$ 時，y₁=2sinx₁上的點（$\frac{5π}{3}$，-$\sqrt{3}$）到
直線y₂=x₂+$\sqrt{3}$的距離為$\frac{|\frac{5π}{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{6}π$+$\sqrt{6}$，
故（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² 的最小值為${（\frac{5\sqrt{2}}{6}+\sqrt{6}）}^{2}$．
綜上可得，（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² 的最小值為$\frac{{2π}^{2}}{36}$=$\frac{{π}^{2}}{18}$，
故選：B．

點評 本題主要考查兩點間的距離公式的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．